Jernej Kozak: NUMERIČNA ANALIZA


DMFA–založništvo | Cenik | Več o knjigi

Numerična analiza
Zbirka: Matematika – fizika (številka 44)
Leto izida: 2008
Obseg: 420 strani
Izvedba: 17 × 24 cm, mehka vezava
ISBN: 978-961-212-208-9
Cena: 37,99 EUR

Kazalo



O knjigi

Slovenska matematična literatura je bogatejša za novo delo iz numerične matematike. Numerična analiza je primeren učbenik za predmete, ki jih avtor predava na drugi in tretji stopnji študija uporabne matematike na Fakulteti za matematiko in fiziko Univerze v Ljubljani. Ker pa po vsebini in zahtevnosti močno prekaša programe teh predmetov, je knjiga monografija z edinstvenim pristopom do problemov numerične analize in z vso potrebno matematično strogostjo. Ne nazadnje je monografija lep primer, kako se v matematiki prepletajo in dopolnjujejo posamezna področja, kako npr. poznavanje funkcionalne analize s pridom uporabimo v numerični analizi in kako pomembne so metode numerične linearne algebre v drugih poglavjih numerične analize.

Besedilo ilustrirajo številni primeri, 87 slik in 43 tabel. Pri vseh poglavjih so dodane naloge, ki pretežno dopolnjujejo obravnavano snov in so praviloma zelo zahtevne. Razlagi posameznih numeričnih primerov so dodani večbarvni diagrami, ki zelo olajšajo razumevanje snovi. Posebnost tega dela je avtorjevo stališče, da je osnova numerične analize abstraktna aproksimacija, zato najprej pripravi potrebno teorijo, ki jo v naslednjih poglavjih dosledno uporablja. Zaradi tega se je treba pri razumevanju novih spoznanj pogosto sklicevati na pripravljeno osnovo. Nekatere izpeljave so dolge in zahtevne, kar zahteva od bralca aktivno sodelovanje. Zelo pohvalno je Kozakovo dosledno obravnavanje napak, ki so neogibne pri numeričnem reševanju problemov. Dodajmo še, da je delo napisano v lepem, a tudi izvirnem jeziku. Kot se pričakuje od matematičnega teksta, je delo napisano zelo skrbno, brez nepotrebnih spodrsljajev.

V prvem delu Aproksimacija in interpolacija postavi avtor najprej temelje abstraktne aproksimacije, tj. aproksimacije elementa abstraktnega linearnega prostora z elementi izbranega podprostora. Pri tem je zelo pomembna izbira baze v prostoru, zato avtor navede nekaj baz, ki jih pogosto uporabljamo, in analizira njihove lastnosti. Podrobno obdela osnovni problem eksistence in enoličnosti elementa najboljše aproksimacije. Posebej obravnava enakomerno aproksimacijo in aproksimacijo po metodi najmanjših kvadratov. Tudi v poglavju o interpolaciji avtor najprej formulira problem abstraktno, nato pa obdela konkretne primere. Tako obravnava polinomsko interpolacijo, iterativno interpolacijo in interpolacijo z raznimi tipi zlepkov: z odsekoma linearnimi zlepki, kubičnimi zlepki in B-zlepki.

Drugi del knjige je posvečen numeričnemu odvajanju in integriranju. Najprej je na kratko omenjeno računanje odvodov funkcije, ki je podana z vrednostmi v posameznih točkah. Tu avtor s pridom uporablja interpolacijo z zlepki, ki jo je pripravil v prvem delu. Nato pa izpelje vrsto formul za numerično odvajanje v zaključeni obliki, ki se uporabljajo pri numeričnem reševanju diferencialnih enačb. Pri poglavju o numeričnem integriranju avtor obravnava konvergenco splošnih integracijskih pravil. Obširno obdela osnovna in sestavljena Newton-Cotesova integracijska pravila s strogo obravnavo napak. Posebej obravnava tudi zelo učinkovito Rombergovo metodo. Pomemben poudarek daje avtor integracijskim pravilom Gaussovega tipa in računanju singularnih integralov ter integralov na neomejenem intervalu.

Tretji del knjige obravnava numerično reševanje navadnih diferencialnih enačb. Avtor se najprej loti reševanja sistemov enačb prvega reda. Pri tem dosledno uporablja vektorsko obliko zapisa enačb in metod. Za razlago potrebne teorije uporabi nekaj preprostih metod, ki so zasnovane na formulah prejšnjega poglavja. Definira lokalno in globalno napako in strogo obravnava konvergenco metode. Podrobneje obdela enočlenske metode tipa Runge-Kutta in linearne veččlenske metode. Pri zadnjih se loti povezave pojmov stabilnosti, konsistence in konvergence. Dodatno se dotakne začetnih problemov pri enačbah višjih redov. Veliko pozornost je Kozak posvetil robnim problemom pri navadnih diferencialnih enačbah. Obravnava prevedbo robnih problemov na začetne in reševanje z diferenčno metodo. Tudi kolokacije se bežno dotakne, prav tako variacijskega problema in problema lastnih vrednosti diferencialnega operatorja.

Zadnje poglavje je posvečeno numeričnemu reševanju parcialnih diferencialnih enačb. Po obvezni klasifikaciji teh enačb se predvsem posveti reševanju z metodo končnih diferenc. Pri reševanju enačb eliptičnega tipa si za razlago metod izbere Poissonovo enačbo. Podrobno obravnava iteracijske metode reševanja sistema linearnih enačb, ki ga dobimo pri diskretizaciji Laplaceovega operatorja. Pomemben dodatek v tem poglavju je razlaga novejših večmrežnih metod. Avtor omenja še nekaj drugih znanih metod. Pri enačbah paraboličnega tipa je pomembno ločiti eksplicitne in implicitne metode zaradi stabilnosti. Tudi tu Kozak poveže pojme stabilnosti, konsistence in konvergence. Pri enačbah hiperboličnega tipa pa avtor najprej obravnava advekcijske in druge enačbe prvega reda, nato pa razloži diferenčno metodo in metodo karakteristik za reševanje valovne enačbe.

Ob koncu lahko še enkrat pohvalimo avtorjev izbor snovi, zelo skrbno in dosledno strogo obravnavanje zahtevne teorije in dragocene napotke za dejansko reševanje zajetih problemov, saj je dodanih nekaj pomembnejših uporabnih algoritmov. Delo bodo s pridom uporabljali slušatelji numeričnih predmetov in uporabniki, ki pri svojem delu naletijo na katerega izmed obravnavanih problemov.

[Iz predstavitve knjige v reviji Obzornik za matematiko in fiziko 56]


DMFA–založništvo | Podatki | Internet | Prodajalna | Povezave | Naša ponudba in CENIKI | Iskanje | Hitri skok: 
HTML 4.01 CSS © DMFA–založništvo 2009. Zadnji popravek strani dne 3. avgusta 2009.